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La geometría ¿Conoce los tipos existentes?

La geometría es un área de la matemática que se encarga de la forma de los objetos individuales.

La geometría es un área de la matemática que se encarga de la forma de los objetos individuales. Además de esto, estudia las relaciones espaciales entre varios objetos y las propiedades del espacio circundante. Se trata de una de las áreas de estudio más antiguas de las matemáticas. Surgió para generar soluciones prácticas a áreas como la topografía y  la astronomía.

La evolución de la geometría permitió comprender que esta puede ser utilizada más allá de las superficies planas y objetos tridimensionales sólidos. Esta disciplina puede ser también aplicada a figuras más abstractas como pensamientos e imágenes. Dentro de la geometría existen diversas áreas o tipos que presentan distintos puntos de enfoque.

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Ramas principales de la geometría

Los tipos o ramas de la geometría tienen un enfoque y desarrollo histórico muy valioso. En la actualidad, algunos de los tipos de enfoques geométricos son: la geometría euclidiana, analítica, proyectiva, diferencial y no euclidiana. A continuación describiremos brevemente cada una de ellas.

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana representa la rama o tipo más conocido e impartido en niveles educativos básicos. Esta fue desarrollada en varias culturas antiguas y fue codificada por Euclides alrededor del año 300 a.C.

Este matemático griego estableció en su obra “Elementos”, una serie de postulados o axiomas, que permitían demostrar cientos de teoremas mediante la lógica deductiva. De esta manera, Euclides definió este tipo de geometría con tanto detalle y precisión, que fue empleada por más de 2000 años.

Geometría analítica

Esta fue establecida en el siglo XVII por René Descartes, quién introdujo las coordenadas rectangulares. Dichos elementos permitían localizar los puntos y realizar representaciones de líneas y curvas a través de ecuaciones algebraicas. En otras palabras, esta rama se encarga de estudiar figuras y construcciones mediante sistemas de coordenadas.

De esta manera, las líneas y curvas son representadas como un conjunto de coordenadas, que se relacionan a través de una función. En este enfoque se emplean los sistemas de coordenadas cartesianas, polar y paramétrico. En la actualidad, se considera también como una extensión moderna de la geometría clásica hacia los espacios multidimensionales.

Geometría proyectiva

Girard Desargues, matemático francés del siglo XVII, fue quien desarrolló la geometría proyectiva. Esta se enfoca en el estudio de las propiedades de las figuras que permanecen inmutables al proyectar sobre la superficie, su imagen o sombra.

Geometría diferencial

Este tipo de geometría se estableció entre el siglo XVI y XVII, gracias a los estudios del matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Su enfoque se dirige hacia los problemas topográficos, pues mediante el cálculo diferencial es posible caracterizar las propiedades intrínsecas de las curvas y superficies.

De esta manera, la geometría diferencial analiza los planos, líneas y superficies en un entorno tridimensional. Todo esto mediante los principios del cálculo integral y diferencial. Hoy en día, es aplicada en distintas áreas como problemas de ingeniería, o el cálculo de campos gravitatorios.

Geometrías no euclidianas

Aunque a comienzos del siglo XIX varios matemáticos intentaron modificar los postulados de la paralela de la geometría de Euclides, estos descubrieron que era posible desarrollar geometrías no euclidianas consistentes. Esta rama es, en esencia, una extensión de los tratados de Euclides sobre figuras y objetos tridimensionales.

Dicha geometría también es conocida como elíptica o esférica. Se encarga de exponer cómo algunos teoremas establecidos desde hace siglos, como el cálculo de los ángulos de un triángulo, pueden mostrarse diferentes en un espacio tridimensional

La relación entre los tipos de geometría

Los diversos tipos conocidos de la geometría se relacionan entre sí de variadas formas. Por ejemplo, las geometrías euclidianas y no euclidianas se consideran como análogas, a pesar de que se sustituye el postulado euclidiano correspondiente a las rectas paralelas. Debido a esto, todos los teoremas derivados y relacionados con dicho principio son modificados.

Estas ramas mencionadas son consideradas como geometrías métricas, pues permiten medir y comparar dimensiones como las longitudes de las líneas y ángulos. Por otro lado, la geometría proyectiva se considera como un enfoque más general que puede o no incluir las métricas. Este tipo no hace referencia a características como ángulos o longitudes.

Las proposiciones de la geometría absoluta, que se relaciona con la euclidiana, excepto por la dependencia del postulado del paralelo, son válidas para las euclidianas y no euclidianas. Por otro lado, la geometría afín, que sí incluye el postulado euclidiano de las paralelas, no considera otros postulados relativos a los círculos y el cálculo de ángulos.

Los postulados de esta última se consideran adecuados en los enfoques cuatridimensionales sobre el espacio-tiempo, que son aplicados en la teoría de la relatividad. En la geometría ordenada se consideran tanto los postulados de la rama absoluta como el enfoque afín. Por esta razón, se incluyen nociones de intermediación entre varios elementos, pero no las mediciones.

¿Cómo se conectan los distintos tipos de geometría?

El programa de Erlangen propuesto por Felix Klein representa un paso importante en el reconocimiento de la relación entre los distintos tipos de geometría. Según dicho programa, los diversos enfoques de la geometría se clasifican tomando en cuenta las propiedades geométricas que permanecen inalteradas, bajo un grupo determinado de transformaciones.

De esta manera, se puede concluir que la geometría euclidiana se encarga de analizar las propiedades que no cambian con las mutaciones de semejanza. Mientras que la geometría afín se ocupa de las propiedades inmutables bajo las transformaciones lineales que resguardan el paralelismo. Por su parte, la geometría proyectiva investiga las propiedades estables bajo las transformaciones proyectivas más generales.

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